Relaciones matemáticas.

1°  Cuando hablamos de relaciones matemáticas, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

2°  Una relación , de los conjuntos es un subconjunto del producto cartesiano{\displaystyle R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}}

Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos.

El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas.{\displaystyle R(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\qquad {\mbox{o bien}}\qquad (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in R}

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: {\displaystyle A_{1}=A_{2}=\ldots =A_{n}} en este caso se representa {\displaystyle A\times A\times \ldots \times A} como {\displaystyle A^{n}\,}, pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.{\displaystyle R\subseteq A^{n}}

3° El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo:Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)

Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que:S ---> I
Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre de rango o recorrido. Las relaciones matemáticas existentes entre ellos se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano.

Relación unaria:

En matemáticas, una relación unaria R, en un conjunto A, es el subconjunto de los elementos x de A que cumplen una determinada condición que define R:{\displaystyle R=\{x:\;x\in A\;\land \;R(x)=cierto\}}

Ejemplos:

• Dado el conjunto N de los números naturales, definimos la relación unaria P de los números pares, esto es un número natural x pertenece a P si x es par, que se expresaría:{\displaystyle P=\{x:\;x\in \mathbb {N} \;\land \;x\;par\}} o lo que es lo mismo:{\displaystyle P=\{2,4,6,8,10,12,\cdots \}}

• Partiendo de los alumnos de un centro escolar A, podemos definir la relación unaria alumnos de tercero T, formada por los alumnos del centro que estudian tercer curso:{\displaystyle T=\{a:\;a\in \mathbb {A} \;\land \;a\;estudia\;tercero\}}

Relación binaria 

En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ definida entre los elementos de dos conjuntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$. Una relación ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ de ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ se puede representar mediante pares ordenados ${\displaystyle (a,b)}$ para los cuales se cumple una propiedad ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a,b)}$, de forma que ${\displaystyle (a,b)\in A\times B}$, y se anota:

${\displaystyle {\mathcal {R}}=\left\{\left(a,b\right)\in A\times B\mid {\mathcal {P}}\left(a,b\right)\right\}}$

Que se lee: la relación binaria ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es el conjunto de pares ordenados ${\displaystyle (a,b)}$ pertenecientes al producto cartesiano ${\displaystyle A\times B}$, y para los cuales se cumple la propiedad ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ que los relaciona.

Las proposiciones siguientes son correctas para representar la relación binaria ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ entre los elementos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle a{\mathcal {R}}b\qquad {\mbox{o}}\qquad {\mathcal {R}}(a,b)\qquad {\mbox{o bien}}\qquad (a,b)\in {\mathcal {R}}}$

También, según la notación polaca puede expresarse:

${\displaystyle {\mathcal {R}}\;a\;b}$

Ejemplos:  

• Dado el conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de los números reales, definimos la relación binaria ${\displaystyle P(x,y)}$ de los puntos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ en el plano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, según la función cuadrática ${\displaystyle y=2x^{2}-3x+5}$, de forma que se anota:

${\displaystyle P=\{(x,y):\;(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\land \;y=2x^{2}-3x+5\}}$

• Partiendo del conjunto ${\displaystyle A}$ de los automóviles ${\displaystyle a}$ de una localidad, y otro conjunto ${\displaystyle P}$ de las personas ${\displaystyle p}$ que manejan automóviles en esa localidad, podemos definir la relación binaria ${\displaystyle C}$ «... conduce ...» entre ambos conjuntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle P}$, formada por cada automóvil ${\displaystyle a}$, y quien lo conduce ${\displaystyle p}$ de forma que se anota formalmente:

${\displaystyle C=\{(a,p):(a,p)\in A\times P\;\land \;a\;{\mbox{es un autom}}\mathrm {\acute {o}} {\mbox{vil}}\;\land \;p\;{\mbox{es un conductor}}\}}$

Relación ternaria

En matemáticas, una relación ternaria R es el conjunto de ternas, ${\displaystyle (a,b,c)\in A\times B\times C}$ que cumplen una determinada condición que define R

${\displaystyle R=\{(a,b,c):\;a\in A\land b\in B\land c\in C\land R(a,b,c)=cierto\}}$

Ejemplos: 

• Dado el conjunto N de los números naturales, definimos la relación ternaria S (a,b,c) tal que a + b = c:

${\displaystyle S=\{(a,b,c):\;(a,b,c)\in \mathbb {N} ^{3}\land (a+b=c)\}}$

que resultaría el conjunto de ternas:

${\displaystyle S=\{(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),(2,2,4),\cdots \}}$

Puede verse que se cumple que:

${\displaystyle S\subset \mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

• Partiendo del conjunto P de todas las personas, podemos definir la relación ternaria A ascendientes, formada por cada individuo i, su padre p y su madre m:

${\displaystyle A=\{(i,p,m)\in P^{3}\land p{\mbox{ es padre de }}i\land m{\mbox{ es madre de }}i\}}$

Fuentes: 

https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

https://definicion.de/relacion-matematica/

https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_unaria

http://packtorbythementhor.blogspot.com/2016/03/relaciones-unarias-binarias-y-ternarias.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria
https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_ternaria